【量化金融】收益率、对数收益率、年华收益、波动率、夏普比率、索提诺比率、阿尔法和贝塔、最大回撤

1 收益率

在学术界，建模一般不直接使用资产价格，而是使用资产收益率(Returns)。因为收益率比价格具有更好的统计特性，更便于建模。下经典的收益率算法如下：
假设 $P_t$ 表示在时刻t时一种资产的价格，在没有利息的情况下，从时刻t-1到时刻t这一持有阶段的收益率为：
$Rt=Pt−Pt−1Pt−1R_t = \frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$
其中，分子 $P_t-P_{t-1}$ 表示资产在持有期内的收人或利润，如果该值为负，则表示亏损。分母 $P_{t-1}$ ，表示持有资产初期的原始投资。

2 对数收益率

对数收益率(Log returas)，用 $r_t$ 表示。定义如下：
$rt=ln(1+Rt)=ln(PtPt−1)r_t =ln(1+R_t) = ln(\frac{P_t}{P_{t-1}})$
其中lnx() 表示自然对数，即以e为底的对数。对数收益率比简单的收益率更为常见，因为对数收益率具有三个良好的数学性质，具体如下。
（1）当x比较小的时候（比如小于 10%时），In(x)和x的值是很接近的。
（2）使用对数收益率，可以简化多阶段收益。k阶段总的对数收益就是k阶段的对数收益之和。
（3）将对数收益绘制成图表，在直观上更接近真实的表现。比如股票价格从 1元涨到 10元，相当于翻了10倍，再从10元涨到100元，也是翻了 10倍。如果单纯绘制股票价格，那么从 10元涨到 100 元的这一段明显会 “看起来涨了更多”。但是如果换算成对数价格，那么就不会存在这种直观偏差了。

3 年化收益

年化收益 (Annualized Returns）表示资产平均每年能有多少收益。我们在对比资产的收益的时候，需要有一个统一的标准。计算方式是：
$（最终价值 / 初始价值一 1 ） / 交易日数量 \times 252$

其中，252代表每年有252个交易日，这个数字每年都不一样，但业界为了方便，一般都将其固定为 252，即：
$P_t-P_{t-1})/days × 252$
年年化收益的一个直观的理解是，假设按照某种盈利能力，换算成一年的收益大概能有多少。这个概念常常会存在误导性，比如，这个月股票嫌了 5%，在随机波动的市场中，这是很正常的现象。如果据此号称年化收益为 5%×12个月=60%，这就显得不太可信了，实
际上每个月的收益不可能都这么稳定。所以在听到有人说年化收益的时候，需要特别留意一下具体的情况，否则很容易被误导。

4 波动率

波动率（Volatility）和风险，可以算是一对同义词，都是用来衡量收益率的不确定性的。波动率可以定义为收益率的标准差，即
$σ=Std(r)\sigma = Std(r)$
假设不同时间段的收益率没有相关性(称为没有自相关性），那么可以证明的是，收益率的方差 Var(r）具有时间累加性。时间累加性的意思是，不同时间段t1，t2，…，tn的方差，加总即可得到这段时间的方差。换向话说，随着时间的增加，方差将会成正比增加，波动率(标准差）将会按时间开根号的比例增加。举个例子，假设股票收益率的日波动率为 $σ\sigma$ 。那么股票每年的波动率就为 $252σ\sqrt{252\sigma}$
（假设一年有252个交易日）。这种不同周期间的波动率换算，在投资计算中非常常见。最常用的波动率是年化波动率，我们经常需要将日波动率、月波动率换算成年化波动率。

5 夏普比率

在研发策略的时候，经常会接触到各种各样的指标，这些指标代表了策略（资产、基金）的表现，比如下面将要介绍的夏普比率 (Sharpe Ratio)。关于夏普比率（ Sharpe ratio），具有投资常识的人都明白，投资光看收益是不够的，还要看承受的风险，也就是收益风险比。夏普比率描述的正是这个概念，即每承受一单位的总风险，会产生多少超额的报酬。用数学公式描述就是：
$=\frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p}$
其中各参数说明如下。
$E(R_p)$ ：表示投资组合预期收益率。
$R_f$ ：表示无风险利率
$σp\sigma_p$ ：表示投资组合的波动率（亦即投资组合的风险）。
上面三个值一般是指年化后的值，比如预期收益率是指预期年化收益率。需要注意的是，虽然公式看起来很简单，但是计算起来其实并不容易。原因就是预期收益率E®和波动率，其实是无法准确得知的。我们只能用统计方法来估计这两个值，然而估计方法也有很多种。估计 $E(R_p)$ 和 $σp\sigma_p$ ，最简单的方法就是计算历史年化收益率及其标准差。然而，即使是同一种方法，针对不同周期计算出来的结果也可能存在很大的差别，从而产生误导。

6 索提诺比率

素提诺比率与夏普比率相似，不一样的是，索提诺比率是使用下行风险来衡量波动率的。在夏普比率中，资产大涨与资产大跌都可视为波动风险。实际上，有时候大洪并不算风险，大跌才是风险，比如基金净值，所以索提诺比率只考虑大跌的风险，这也可以看作是对夏普比率的一种修正方式。但是在某些品种中，大涨大跌都可能是风险，比如可以做多做空的期货。美股也可以做多或者做空，这种情况下，涨或跌都是风险。索提诺比率之所以没有流行，大概是因为美股可以做空。

7 埃尔法和贝塔

阿尔法策略其实是来源于资本资产定价模型（CAPM)。这个模型将股票的收益分为了两个部分，一部分是由大盘涨跌带来的，另一部分则是由股票自身的特性带来的。大盘的那部分影响就是贝塔（Beta）值，剔除大盘的影响，剩下的股票自身就是 Alpha 值。所以在谈论 Alpha 策略的时候，其实就是在谈论股票与大盘无关的那部分收益。如果Alpha 策略做得好，对冲掉大盘风险后，可以取得相当稳定的收益。

8 最大回撤

顾名思义，是指投资一项资产，可能产生的最大亏损，即所谓的“买在最高点，抛在最低点”
计算公式如下：
$ma x (1 - 当日净值 / 当日之前最高净值）$
这个 max 需要对每个交易日进行循环。

9 参考

参考书籍《Python量化投资技术、模型与策略》赵志强刘志伟

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